dijkstra

发布时间:2016-12-9 17:45:49 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
本篇文章主要介绍了"dijkstra",主要涉及到dijkstra方面的内容,对于dijkstra感兴趣的同学可以参考一下。

单源最短路径问题,即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前,必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。 一.最短路径的最优子结构性质    该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。    假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。 二.Dijkstra算法    由上述性质可知,如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路, 假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。 1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中; 2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}) 3.知道U=V,停止。 代码实现: /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/ #include <iostream> #include<stack> #define M 100 #define N 100 using namespace std; typedef struct node { int matrix[N][M]; //邻接矩阵 int n; //顶点数 int e; //边数 }MGraph; void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点 { int i,j,k; bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n); for(i=0;i<g.n;i++) //初始化 { if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) { dist[i]=g.matrix[v0][i]; path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 } else { dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻,则权值置为无穷大 path[i]=-1; } visited[i]=false; path[v0]=v0; dist[v0]=0; } visited[v0]=true; for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次 { int min=INT_MAX; int u; for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点 { if(visited[j]==false&&dist[j]<min) { min=dist[j]; u=j; } } visited[u]=true; for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值 { if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) { dist[k]=min+g.matrix[u][k]; path[k]=u; } } } } void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点 { stack<int> s; int u=v; while(v!=v0) { s.push(v); v=path[v]; } s.push(v); while(!s.empty()) { cout<<s.top()<<" "; s.pop(); } } int main(int argc, char *argv[]) { int n,e; //表示输入的顶点数和边数 while(cin>>n>>e&&e!=0) { int i,j; int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w MGraph g; int v0; int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n); int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n); for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<M;j++) g.matrix[i][j]=0; g.n=n; g.e=e; for(i=0;i<e;i++) { cin>>s>>t>>w; g.matrix[s][t]=w; } cin>>v0; //输入源顶点 DijkstraPath(g,dist,path,v0); for(i=0;i<n;i++) { if(i!=v0) { showPath(path,i,v0); cout<<dist[i]<<endl; } } } return 0; }   测试数据:      运行结果:    作者:海子      出处:http://www.cnblogs.com/dolphin0520/      本博客中未标明转载的文章归作者海子和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文连接,否则保留追究法律责任的权利。 下面举一个例子: /** dijkstra UVa 10801 */ #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; const int MAXN = 105, INF = 1000000; int speed[MAXN], floors[MAXN]; int w[MAXN][MAXN], d[MAXN]; int n, k, num; bool vis[MAXN]; void build_G(int ss)//构造无向图 { for(int i=0; i<num; i++) for(int j=i+1; j<num; j++) { int dis = abs(floors[i]-floors[j]) * speed[ss]; if(dis < w[floors[i]][floors[j]]) w[floors[i]][floors[j]] = w[floors[j]][floors[i]] = dis; } } void dijkstra() { memset(vis, false, sizeof(vis)); for(int i = 0; i < 100; i++) d[i] = (i == 0) ? 0 : INF; for(int i = 0; i < 100; i++) { int x, m = INF; for(int y = 0; y < 100; y++) if(!vis[y] && d[y] < m) m = d[x=y]; vis[x] = true; for(int y = 0; y < 100; y++) if(!vis[y] && d[y] > d[x] + w[x][y] + 60)//每个换乘顶点均等待60s d[y] = d[x] + w[x][y] + 60; } if(d[k] == INF) printf("IMPOSSIBLE\n"); else { if(k == 0) puts("0"); else printf("%d\n", d[k]-60);//减去初始顶点的60s } } int main() { #ifdef test freopen("sample.txt", "r", stdin); #endif while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { memset(w, INF, sizeof(w)); for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &speed[i]); for(int i=0; i<n; i++) { num = 0; while(1) { scanf("%d", &floors[num++]); if(getchar() == '\n') break; } build_G(i); } dijkstra(); } return 0; }

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