高斯取整函数与Beatty定理

发布时间:2016-12-11 12:33:06 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
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http://www.blogbus.com/yjq24-logs/42304551.html 高斯取整函数又叫向下取整函数,常见的记法如下: ,既然是向下取整,也就是说[-3.5]=-4,这个取整对负数来说就不是简单地扔掉小数部分,这是要注意的。可以说,高斯取整是联系连续和离散的重要桥梁。 小知识:高斯函数性质 1) x-1<[x]<=x<[x]+1 2) [x+n]=[x]+n,(n为整数) 3) [x]+[y]<=[x+y]<=[x]+[y]+1 //左边由性质2易证,右边利用[x+y]<=x+y<[x]+[y]+2 4) [nx]>=n[x],(n为正整数) //反复利用性质3左边 5) [x/n]=[[x]/n],(n为正整数) // 换元后等价于证[ny]/n-1<[y]<=[ny]/n,右边由性质4易证,左边有 [ny]/n<=[y]+{y}<[y]+1 欧拉给出过一个很经典的多项式: ,该多项式在n=0,1,2,…,39时产生40个素数。利用高斯取整函数,可以做 一件差不多的事: ,这个函数跳过所有的平方数,而且值域覆盖所有非完全平方数构成的集合,有了上面的这些性质作武器,证明并不难,这里就略去了。 今天的主题还是 Beatty定理 : 正无理数 满足 , 则数列 ; 严格递增, 并且这两个数列构成Z+上的一个分划(也就是它们无交地遍历全体正整数)。 [题解]: 其实作为习题是不难的,显然 ,于是 ,故 Step1.先证明两数列不交:[反证]若 ,有 ,即有 , 两式相加:得k<m+n<k+1,这和m,n,k都是自然数矛盾; Step2.再证两数列能取遍所有的正整数:[反证]若k不在 中,则有 于是 两式分别除以 和 后相加:得 ,这和m,n,k都为自然数矛盾. 证毕. 由Beatty定理得到的两个数列称为互质数列,不过别被名称所欺骗,a[n]和b[n]并不能保证对应互质。

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