肉眼判讀特徵向量

发布时间:2017-2-24 6:58:28 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
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美國數學家波利亞 (G. Polya) 說:「每一個問題的解答,都需要有某個『發現』才行。」這句話套用到下面的矩陣特徵值求解問題尤其貼切: 矩陣  的特別模式讓我們得以避免解四次方程式的繁瑣計算,事實上,只要運用心算即可求得  有特徵值 。這究竟是如何辦到的?某個「發現」在此指的又是什麼?   令  為一  階矩陣。多數線性代數教科書按照以下步驟計算特徵值和特徵向量: (1) 設特徵方程 ,其中  是特徵值, 是特徵向量。將特徵方程改寫為 ,此式的意義是  的零空間 ,稱為特徵空間,包含不為零的向量,也就是說, 是不可逆的,以行列式表達的等價的條件式為 。 (2) 將  階行列式  展開,便得到一個  次多項式 ,稱為  的特徵多項式。解出  的根,此即為特徵值 。 (3) 對於每一個特徵值 ,解出特徵空間  的基底,也就是對應  的特徵向量。   根據代數基本定理, 次多項式恰有  個根,因此  共有  個特徵值(包含重根)。對於小型矩陣,我們可以直接解出特徵多項式的根,很不幸,這個方法的效用有限,因為法國數學家 Évariste Galois 早在公元 1846 年就證明一般  次方程式不存在公式解。所以,當面對高階矩陣時,除非矩陣具有某種特殊可化簡型態(參閱“分塊矩陣特徵值的計算方法”),否則我們只能仰賴數值方法來計算特徵值。   上面的分析過程給出了特徵值和特徵向量的「制式」計算方法:先解特徵值,後求特徵向量。但倘若我們已經知道  的特徵向量 ,將它代入特徵方程 ,這樣也可以得到對應的特徵值 。不過,這個做法的障礙在於特徵向量的解法沒有固定的套路,而且僅適用於少數特殊矩陣模式,因為這兩個原因,今天只有極少數人曉得特徵向量的肉眼判讀術。下面我列舉一些特殊矩陣,不用蠻力計算,也不需要背誦法則,只要留意矩陣的相關特質即可迅速得到答案。   考慮上三角形方陣 三角形矩陣的主對角元就是特徵值,所以  有特徵值 。明顯地,對應  的特徵向量為 ,但弔詭的是,要能一眼看出對應  和  的特徵向量卻不容易。讀者或許會懷疑:針對如此簡單的三角形矩陣,我們都無法立刻讀出特徵向量,遑論其他複雜的矩陣。暫時不必急著下定論,繼續往下探討其他的情況再說。   再看下面這例子, 觀察得知  僅有一個線性獨立的行向量,亦即 ,我們稱它為秩-1(Rank-One) 矩陣。利用行向量之間的倍數關係,不難得到  的兩個獨立特徵向量 , 對應 。這表示  重複兩次,那麼還有一個特徵值為何?我們知道跡數等於特徵值之和,所以還有一個特徵值 ,而對應的特徵向量正是行向量 !這需要加以解釋。設  為  階實矩陣,且 ,則  必定可以表示為 ,,上例中, 利用矩陣乘法結合律,可得 得知  有一特徵值 ,因為特徵向量  可以表示成  的行向量的線性組合, 是行空間  的唯一基底向量。由秩—零度定理可知 ,令零空間  的  個基底向量為 ,,就有 , 有  個重複特徵值 ,證得秩-1矩陣的特徵值為 。上述基底向量 ,,通常憑肉眼即可判讀出來。   類似的特徵向量解讀術還可以應用於下列形式矩陣: 其中 。Householder 矩陣即為一例,,(見“特殊矩陣(四):Householder 矩陣”)。Householder 矩陣未必容易看出,但下面這個矩陣則有清楚的模式: 上式中  的各元全是 。不難發現  有特徵向量  對應 ,還有三個獨立的特徵向量對應 :。   回到本文一開始給出的問題,我們將它以符號表示如下: 其中 。觀察發現  是實對稱矩陣,而且  的每一列所有元總和都等於 。顯然, 有特徵向量  對應 。回想實對稱矩陣的特徵值必定是實數,而且存在彼此正交的特徵向量集。這個結果縮小了搜索範圍,其他三個特徵向量各元之和必等於零(因為與上述向量正交)。利用對稱原理就得到特徵向量 對應 ,特徵向量  對應 ,特徵向量  對應 。請讀者自行確認  的特徵向量構成一組正交向量集。   最後我們整理特徵向量肉眼判讀術的兩項關鍵技巧:(一) 先求得最明顯的特徵向量,然後算出對應的特徵值。(二) 運用矩陣的特別模式或屬性立下特徵值或特徵向量的條件及限制。在實際應用時,不應墨守成規,也不必拘泥小節,譬如先求特徵值抑或先找特徵向量。總之,基本道理不難,但要達到「運用之妙,存乎一心」的境界,惟有勤加練習一途。

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