二分图匹配

发布时间:2016-12-9 0:18:20 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
本篇文章主要介绍了"二分图匹配",主要涉及到二分图匹配方面的内容,对于二分图匹配感兴趣的同学可以参考一下。

本文直接转载自http://blog.csdn.net/q3498233/article/details/5786225 二分图:二分图是这样一个图,它的顶点可以分类两个集合X和Y,所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。 二分图匹配:给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。 最大匹配:图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。 完美匹配:如果所有点都在匹配边上,则称这个最大匹配是完美匹配。 二分图匹配基本概念: 未盖点 设VI是G的一个顶点,如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联,就称VI是一个未盖点。 交错轨    设P是图G的一条轨,如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M,就称P是交错轨。 可增广轨(增广路)     两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。 可增广轨的性质: 1:P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。 2:P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。 3:M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。 二分图最大匹配匈牙利算法: 算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错 轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和 终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是 将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证 明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。 代码: //匈牙利算法复杂度o(nm) #include <iostream> using namespace std; const int MAXN = 1001 ,MAXM = 1001 ; int n1,n2,m,ans; //n1,n2分别为二分图两边节点的个数,两边的节点分别用1..n1,1..n2编号,m为边数 bool g[MAXN][MAXM]; //图G邻接矩阵g[x][y] bool y[MAXM]; //Y集合中点i访问标记 int link[MAXM]; //link[y]表示当前与y节点相邻的x节点 void init() {     int x,y;     memset(g,0 ,sizeof (g));     memset(link,-1 ,sizeof (link));     ans = 0 ;     scanf("%d%d%d" ,&n1,&n2,&m);     for (int i = 1 ;i <= m;i++)     {         scanf("%d%d" ,&x,&y);         g[x][y] = true ;     } } bool find(int x) //是否存在X集合中节点x开始的增广路 {     for (int i = 1 ;i <= n2;i++)         if (g[x][i] && !y[i]) //如果节点i与x相邻并且未访问过         {             y[i] = true ;             if (link[i] == -1 || find(link[i])) //如果找到一个未盖点i中或从与i相邻的节点出发有增广路             {                 link[i] = x;                 return true ;             }         }     return false ; } int main() {     init();     /*for (int j = 1;j <= n2;j++)         for (int i = 1;i <= n1;i++)             if (g[i][j] && !link[j])                 link[j] = i;//贪心初始解优化*/      for (int i = 1 ;i <= n1;i++)     {         memset(y,0 ,sizeof (y));         if (find(i))             ans++;     }     printf("%d/n" ,ans);     return 0 ; } 真正求二分图的最大匹配的题目很少,往往做一些简单的变化: 变种1:二分图的最小顶点覆盖 最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。 knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数(m)。 变种2:DAG图的最小路径覆盖 用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。 结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m) 变种3:二分图的最大独立集 结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)— 最大匹配数(m) 另附几篇他人的日志,以供参考: 二分图 (1)--基本概念 、二分图 (2)-- 匹配 、二分图 (3)--匈牙利算法 、二分图 (4)--霍尔婚姻定理(完全匹配的存在条件)

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