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[转载]仿射密码(古典)

发布时间:2016-12-5 12:31:51 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
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仿射密码简介:   仿射密码和移位密码一样, 也是一种替换密码. 不同的是, 移位密码中, 我们使用的是模n加; 而在下面的仿射密码中, 我们使用的上一节中介绍的模n乘. 在安全性方面, 仿射密码同移位密码一样, 都是极其差的, 不仅因为他们的原理简单, 更要命的是这两种替换密码没有隐藏明文的字频信息, 这很容易导致破解者轻易的攻破.      放射密码中的一些概念:     1) 明密文字母表为Z26   2) 秘匙 K = (a,b) ∈ Z26_ × Z26 . 其中Z26_ 表示小于26且与26互素(或叫互质)的正整数的集合,这点非常重要的.   3) 加密变换为 y = (ax + b) mod 26 ;     很简单?(呵呵, 先别急.) 我们先来引入一个定义.     大家知道, 好多东西都有逆, 大家读小学时都知道,两个数相乘乘机为1,则互为倒数, 其实是最简单的逆. 后来, 我们到了高中, 我们学习了逆函数; 到了大学, 我们学习线性代数, 知道两个矩阵的乘积为单位矩阵的话, 则这两个矩阵互为逆矩阵.   现在我跟大家介绍另一种逆. 叫模逆. 其实很好理解的, 如下:  若a,b两数的乘积对正整数n取模的结果为1. 则称a,b 互为另外一个的模逆.   比如:       3*7 = 21; 21 % 20 = 1 ; 所以3,7 互为 20 的 模逆.       9*3 = 27; 27 % 26 = 1 ; 所以9,3 互为 26 的 模逆.     如何标记?      若a,b互为n的模逆 , 即b 为a 的模n的逆元 , 则记 b 为 a-1mod n (这里没公式编辑器, a-1中的-1在右上角, 见谅了呵呵).     看了上面的定义, 我们知道:   只有当 a 与 n 互素的时候, a 才是有模逆的. 其他情况下是不存在模逆的, 比如 2 对26 就没有模逆. 这是个很简单的数学问题, 大家动下手, 画几笔就清楚了.我就不多罗嗦了.     [思考] 大家能快速的求出11对123的模逆吗? (放心,11和123是互素的.)     可能大家会这样想:     设其模逆为 b , 则 必定存在一个整数 t   , 使得等式 11b = 123t + 1 成立.     我们再变化一下, 也即所求为 必须使得 (11b - 1) % 123 = 0 恒成立.      到了这里, 如果使用笔算对b从2开始依次递加穷举的话,将会非常辛苦, 若将123换成一个更大一点的数, 用笔算穷举更是不可能的.     聪明你的肯定想说, 写个程序算就行了啊. 不错, 写个程序帮我们穷举的确很棒, 充分发挥了计算机的作用.      但这里, 我介绍给大家另外一种巧妙的方法 ---- 扩展欧几里德变换:     123 =      1*123+       0*11   11   =      0*123+       1*11      |11   2    =      1*123+      (-11)*11   |5   1    =     (-5)*123+     56*11        聪明的你, 一定看出来了吧. 对! 我们将123和11都表示成 x * 123 + y * 11 的 格式, 然后相减, 在最右侧一栏写上每次减去的被减数的倍数. 依次进行, 知道减数变为1为止. 然后我们取第三列的最下面的一个数, 再对123 取模 即得11 对123的模逆.    对于这个变换, 不清楚的朋友,我劝你们最好动笔画几下. 那样比我在这里说的起作用的多.嘿嘿~~      这个算法的好处:   我们编写这个算法的程序去求任何模逆都是非常高效的, 它帮我们以及CPU都节省了不少时间.     为了加深理解, 来看一个例子:     [例子] :求 1211对13211的模逆 .         13211     1     0           //这一行的1和0是固定的.       1211      0     1     |10    //这一行0和1也是固定的, 后面的10是13211减掉的1211的倍数.意思为减掉10个1211.       1101      1     -10   |1     //第一个1为上一行的第二个1抄下来;-10 = 0 - 1*10 (上一行的算这一行的);后面的1依然为减掉的倍数.       110      -10    11    |10    //-10 为带抄下来, 11 = 1 - (-10) *1 , 10 为倍数.       1             -120         //很快就到1了, 这时的 -120 就是我们要的.      -120 % 13211= 13091 即为 1211 对13211 的模逆. 怎么样? 不错吧.   呵呵.   我们可以用如下一段小程序来完成模逆的计算:   代码:int Moni(int a,int n){   int p=a,q=n, t;   int x = 0, y = 1, z = (int)q/p;   while(1 != p && 1 != q)   {          t = p;     p = q % p;     q = t;     t = y;     y = x - y*z;     x = t;     z = (int) q/p;   }   y = y%n;   if (y<0)   {     y += n;   }   return y;}       [再来看仿射]     刚才费了这么大的劲, 介绍了模逆, 还是为了在给仿射密码的解密打地基.    我们看上面的放射密码的加密公式 : y = (ax + b) mod 26 .    根据简单的数论知识, 我们知道其解密变换为: x = a-1(y-b) mod 26 .(其中a-1中-1在右上角, 为a对26的模逆).   也即 x = a对26的模逆与(y-b)相乘后的积再对26取模, 最终结果即为解密后的内容.     下面我们来看一个实例:     [例子] 已知仿射密码中密文为JACKOZOO ,字母表为Z26, 秘匙 K = (11,7) , 试解密.   代码:   解: 先求11对26的模逆: 11-1mod26 = 19 .       故解密变换为:   x = 19(y-7) mod 26 ;       由   JACKOZOO        --->   9   0   2   10 14   25   14   14       --->   12 23 9   5   3    4    3    3       --->   M   X   J   F   D    E    D    D      所以明文为: MXJFDEDD.       好了, 仿射密码的理论介绍就到这里.   附件中为仿射密码学习的小软件. 附带源码. 希望大家用的上. 谢谢 !      --------------------------------------------------------------------------------【版权声明】: 本文原创于看雪技术论坛, 转载请注明作者并保持文章的完整, 谢谢!                                                        2009年05月19日 PM 09:11:02

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