关于直线分平面以及正四面体无线扩展构成的空间等问题

发布时间:2016-12-7 1:52:15 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
本篇文章主要介绍了"关于直线分平面以及正四面体无线扩展构成的空间等问题",主要涉及到关于直线分平面以及正四面体无线扩展构成的空间等问题方面的内容,对于关于直线分平面以及正四面体无线扩展构成的空间等问题感兴趣的同学可以参考一下。

看到一个问题比较有意思,就记录下来。  要求: 1. 西瓜必须是凸几何形状。(毕竟咋没有见过凹形(如:锯齿形之类)的西瓜) 2. 刀必须是平面。 3. 走刀路线必须为直线。   其实是平面划分空间问题。即4个平面将西瓜的空间最多分多少个。 有人讨论是2^4=16. 因为 1刀2块,2刀4块,3刀8块比较容易想。 其实这个切最多的情况是:想象球体中一个正四面体,注意正四面体的顶点不在球面上。我这里数了这种情况下,能划分的空间个数,在正四面体的每个顶点处,想象每条线延伸,数每个顶点处的空间,避免重复的,有8+4+2+1,所以共15个。 其实如果知道这种情况下划分空间最多(因为每两个平面两两相交,且有不同的交线)。用欧拉公式,Euler 公式: V = S + L + O + 1 V表示空间,S表示面,L表示线,O为顶点数,所以V=4+6+4+1 = 15 下面是抽象的问题 最近迷上了递推,感觉只要你就是在做数学题目,只要你找到规律,无需庸长的代码,也不要注意输出格式,一个字爽!今天我就最近做面或空间的分割问题的心得分享一下,如不对的地方,请指教!        (1) n条直线最多分平面问题        题目大致如:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。        析:可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。 这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。           故:f(n)=f(n-1)+n                        =f(n-2)+(n-1)+n                        ……                        =f(1)+1+2+……+n                        =n(n+1)/2+1          (2) 折线分平面(hdu2050)         根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。                  故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1                        =f(n-1)+4(n-1)+1                       =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2                       ……                       =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)                          =2n^2-n+1        (3) 封闭曲线分平面问题        题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。         析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。                   故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)                                     =f(1)+2+4+……+2(n-1)                               =n^2-n+2            (4)平面分割空间问题(hdu1290)            由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数 )此平面将原有的空间一分为二,则最多增加g(n-1)个空间。                     故:f=f(n-1)+g(n-1)     ps:g(n)=n(n+1)/2+1                     =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)                     ……                    =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)                   =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)                   =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1                  =(n^3+5n)/6+1

上一篇:图文详解YUV420数据格式
下一篇:CopyOnWriteArrayList的理解

相关文章

相关评论